“好了，现在和我说说你的这个谱筛法吧。”

Forum剧院的的一间小休息室中，詹姆斯·梅纳德笑着对周淮说道。

这间小休息室也是他拜托杰夫·史密斯安排的。

那位史密斯主席虽然很好奇这两位看上去应该八竿子打不着的教授和学生到底要聊什么，不过也还是帮他们安排了一个房间。

周淮点了点头，然后就从口袋中掏出了一个小笔记本和笔，准备在上面写。

不过这个时候，梅纳德也从口袋中掏出了一叠折叠起立的A4空白纸，笑着对周淮说道：“用我这个吧。”

“好！”周淮眼前一亮，笑着点点头。

这大概也算是学者之间的默契了，出门在外的时候都会带上纸笔。

说不定在外面的时候，脑子里面就突然想到了之前研究的一个问题该怎么解开了呢？

而后，周淮便开始在纸上写了起来，同时也一边介绍道：“总而言之，在您当初提出的那几点建议，再加上我个人的一些思考，最后才想出了这样的一个方法。”

“嗯……我最终放弃了单独地对筛法改进，或者是寻找更密的k元组，因为我找到了一种方法，能够同时实现这两者……”

他在纸上首先写下了他构造的“间隔模空间”M_（k，R)的一些关键定义和性质，只不过由于不清楚詹姆斯·梅纳德是否对这些高深的代数几何知识了解，因此他也尽量用梅纳德能够理解的语言进行类比和解释。“这个空间M_（k，R)”周淮指着纸上的符号，“它的“点’可以看作是参数化了经过特定方式“平滑化’的k-元组的间隔结构。它的几何，比如其上的特定子簇或者上同调群，编码了k-元组的可容许性条件和间隔分布的期望。”

梅纳德认真地听着，听到周淮的这些类比，好像是老师在给自己讲课一样，让他心中感到一些好笑的异样感。

毕竟眼前的这位少年现在还是一名学生，而自己都已经是一名成名几年的数学家了。

他笑着摆摆手，说道：“虽然我对代数几何的研究程度可能不如你，不过你也不用担心我听不懂，代数几何的名词，还有其中的一些关系，我还是了解的，当年上研究生的时候，我也是选了代数几何的课，拿到的都是A。”

周淮一愣，随后便笑着点头：“好，那我就直接说明了。”

这样多少也算是方便他嘛。

“那就继续吧。”梅纳德笑着道。

周淮点点头，继续开始讲述，同时在纸上写下了他如何将梅纳德当初实现突破的那个筛法中的核心权重求和重新解释为在M_（k，R)上定义的某种“算术函数”在特定参数点的取值，他将此称之为谱权重函数。一旁的梅纳德聚精会神地听着，不时点头。

即使本身不擅长代数几何，但周淮的讲述，对于他来说就像是上学时不会做的那些数学题的参考答案。他做不出数学题，但是他看得懂参考答案。

因此对于周淮想要表达的核心思想，他也是能够理解。

.……这是我整个方法中最核心的一步，对这个谱权重函数A(n，H;R)进行一种展开，我将它称之为“谱展开’，spectral epansion。”

“类似于马斯形式可以按特征值展开。”

周淮在草稿纸上面写下：

“这里的_j可以看作是M（k，R)上某个合适算子的一组“本征函数’，比如由Hecke对应或几何Laplacian导出的算子。”

“而c_j是对应的“谱系数’。我的关键想法是，那些与小间隔素数k-元组密切相关的本征模式o_j，其对应的谱系数c_j会表现出特殊的算术性质，或者在总和中占据主导地位……”

听着周淮的讲述，一旁的梅纳德眼前越来越亮。

尽管没有出声，让周淮能够继续讲下去，但是他已经在心中为之惊叹。

何等天才的构思啊？

他此前更是从来没有想过，在孪生素数猜想的研究上，还能够做出此种突破。

代数几何的方法，还能够如此和数论的方法进行结合。

这样一来，按照周淮的这种讲述下去……

确实无论是筛法，又或者是k元组，都能够被周淮的这个方法共同解决！

这就是代数几何的魅力吗？

竟然能够展现出如此巨大的作用，一时间梅纳德都仿佛有了一种去研究一下代数几何的想法。不过很快，他还是在心中哭笑不得地将这个想法放弃。

他喜欢的东西是那种简单、基础，又完全神秘的，正是因此，当年的素数完全吸引了他，而代数几何对他来说还是太复杂，产生了不了太大的吸引力。

当然，就目前来说，他所掌握的解析数论方法还足够他继续应对现在面临的那些问题，贸然开始研究代数几何或许反倒会影响到后续更深层的研究进展。

毕竞他可不像是那位“什么都会一点”的陶哲轩。

就这样，过去了将近半个小时后，周淮的讲述终于结束了。

这时候，他才仿佛想起旁边这位是当今世界上在解析数论领域，特别是素数问题方面最顶尖的学者之一于是他带着一些期待和忐忑看向梅纳德：“梅纳德教授，这就是我关于“谱筛法’的构思。我目前已经能够证明，在某些合理的几何假设下M_（k，R)的存在性和良好性质，这种方法确实可以将孪生素数间隔的上限显著降低，得到比Polymath8b更好的结果。”

“我之前简单计算了一下，就成功将这个间隙降低到了156。”

“如果继续进行更多的计算，或者是借用计算机搜索，寻找到一个更密的k元组，也许就还有机会将它降低到更低的水平。”

“但是到了现在这个程度，我已经有些不知道，我这个方法是否还能够继续进行改进，所以这次也是希望能够和您交流，从您这里获得一些建议。”

梅纳德沉默了良久，他将A4纸拿了起来，看着周淮刚才在上面写下的那些充满了代数几何符号和谱理论概念的推导，又回想起周淮清晰而富有逻辑的阐述。

最终，他缓缓抬起头，摇摇头说道：“我给不了你建议了。”

“你的这个“谱筛法’……我必须承认，它完全超出了我之前对筛法理论的认知。整个数学界之前大概也从来没有想到过，代数几何还能够和自守形式的谱理论，以及筛法的核心思想如此融合在一起。”“更坦白点来讲，我甚至很难对你这个框架的内部细节做出准确的评判，我在代数几何方面的知识储备，完全不属于这块料。”梅纳德认真中又带着由衷的钦佩，“或许只有彼得·舒尔茨，或者是格尔德·法尔廷斯这样的数学家能够给你带来建议了。”

….……嗯，说不定他们一时半会也完全不知道该怎么办呢？”梅纳德笑着说道。

“我唯一能给你的建议一一或许你自己也能够意识到，那就是只能从Bombieri-Vinogradov定理出发了。”

“谱筛法可能已经接近了筛法设计的极致一一至少是我们能够想象得到的极致。”

他叹了口气，继续说道：“也许……也许剩下的，想要真正彻底地证明孪生素数猜想，或者将间隔缩小到我们期望的程度，真的就如同Polymath8项目分析的那样，必须回到那个最根本的“天花板’Bombieri-Vinogradov定理的水平分布О上面。”

听着梅纳德的话，周淮也陷入了片刻的沉默。

对于梅纳德回答，他其实并不感到意外。

只不过之前他想碰碰运气，万一梅纳德还能够给出一些建议呢？

“Bombieri-Vinogradov定理啊……”他仰起头，感慨一声。

“Bombieri-Vinogradov定理啊……”梅纳德也同样感慨一声。

Bombieri-Vinogradov定理称得上是那三个天花板中最难突破的一个。BV定理简单来说就是说明素数的分布水平。

想象我们有一个巨大的数轴，想把所有小于的素数按【除以某个整数q取余】的结果分到q个盒子里，理想情况下，如果素数完全随机，那么每个盒子里约该有同样多的素数，大约是：

其中的中(q)是跟q有关的一个修正因子。

BV定理就证明了当q≤^6（9=1/2)时，这个盒子里面的素数个数是相同的。

这个结果在上个世纪的60年代就已经得出，时至今日，也始终没有人在这上面得到太大的突破。当初张唐的论文也仅仅只是将0=0.5略微提高到了0.5017，而在polymath项目中，这个数字最后被提高到了0.523。

总而言之，想要继续提高，难之又难。

“不过嘛，你已经迈出了这样大的一步，说不定到时候即使在BV定理上面，你也能够再次突破呢？”梅纳德笑着拍了拍周淮的肩膀，鼓励道。

周淮随后便也笑着点点头：“或许吧。”

“会成功的。”梅纳德说道，随后他对周淮说道：“什么时候发论文？”

周淮问道：“我不用尝试把间隙再多缩小一些后再发论文吗？”

梅纳德笑道：“当然不用！剩下的工作不过就是缝缝补补而已，不要忘了，好的数学家，往往只需要做最聪明的工作就行，剩下的时间，不如放在其他的问题上面，或者是放松放松，为后面的工作养精蓄锐。”周淮一愣，随后便笑着点点头：“您说的有道理。”

“那我就等着你发论文的那天了。”梅纳德点点头：“先发到ar.iv上面，我到时候会给陶哲轩教授也推荐一下你的论文，相信到时候他也会惊为天人的。”

“好的。”周淮说道：“也感谢您的指导了。”

“没有什么指导不指导的，我们完全只是在交流而已，就像是绝大多数数学学者之间那样。”梅纳德连连摆手，然后又道：“另外，以防万一，我也还是多说一句，到时候你讲论文发表上去的时候，不要将我的名字署上去，谱筛法完完全全是属于你的成果，这是属于你的荣誉。”

“要是你那样做了，陶哲轩教授大概都会打电话过来骂我。”

周淮一怔，虽然他确实没想过给梅纳德署名这种事情，毕竟他还没有大方到这种程度，不过对方说的事情倒是让他好奇了起来。

“那位陶哲轩教授会骂您？为什么？”

梅纳德笑着说道：“你应该也知道当年我是和陶在几乎相同的时间发表了关于孪生素数猜想上面的突破吧?”

周淮点点头，“这个我知道。”

“嗯，当时的我还只是一名籍籍无名的博士后，我完成这个成果的时候，我的导师格兰维尔坚持要求我在写结果时，务必把每个细节都写清楚。”

“当时他说：没人会相信你，因为没人听说过你，你必须写得足够好，这样才没人能反驳你。”“于是我开始尽可能弥补论文中的所有细节。”

“但就在快接近尾声的时候，我的导师得到了一个令人胆寒的消息，现代最多产、最受推崇的数学家之一，菲尔兹奖得主，UCLA的陶哲轩教授，也得到了一个和我基本相同的结论。”

梅纳德说道：“相信你也知道这意味着什么。”

周淮点了点头，这确实令人胆寒。

“毕竞，如果当时我们共同发表论文的话，数学界毫无疑问会将注意力集中在陶的身上，而不是我的身上，哪怕是我和他联名发表论文，人们也只会认为陶在论文中做出的贡献更大。”

“但幸运的是，陶慷慨地没有公布他的工作，因此那也让我得以成名。”

梅纳德说道：“我很感谢陶教授，所以如果你那样做了，陶如果知道了真相，大概的确会来骂我一一这会让我很难过。”

周淮恍然大悟。

原来还有这般经历。

“那位陶教授是一位好人。”周淮说道。

“当然。”梅纳德笑道：“整个数学界都知道。”

“所以你也尽快将你的论文发出来吧，我相信陶到时候看了，一定也会对你的证明赞不绝口，特别是他可是“什么都会一点’的陶哲轩，肯定能够更加容易理解你论文当中那些涉及代数几何相关的内容。”“我会的。”